为什么晚清的时候中国人可以到西方国家留学?

西方列强跟大清又不是长期处于战争状态，更多的时候双方是和平的。
而19世纪晚期是自由贸易的极盛时代，商人文化人很有点超越国界的感觉，没有绝对对抗的国家，各大列强之间虽然相互竞争但贸易都是开放的，直到一战前德国的挑衅让两大集团成型后自由交流的大门才关闭
举个例子，这个时代人几乎没有护照（类似护照的玩意儿东西方很早就有了），更没有签证他们认为人口自由流动能加强交流，这个时代的移民数字高得可怕，美国人就是因为疯狂涌入的中国移民才提出了《排华法案》，反倒是外国人来中国不易，清政府对外来人员有严格控制，他们能去多少省份都是有规定的，19世纪末有两个外国传教士想去新疆，就在甘肃滞留了3个月，而西藏干脆是绝对封闭，没有合法渠道让外国人进入

不要把西方想得那么邪恶，中国和西方当时的关系并非你死我活，事实上西方对中国当时并没有太大的领土野心，最多只是想获取经济利益。相反沙俄和日本倒是对中国的领土虎视眈眈。如果有疑问欢迎追问。

准确的说那还不是晚清，从洋务运动开始中国就有派遣留学生的政策了，倡导中学为体，西学为用，那时中国的维新派已经在逐步的认识到1840年来英国工业革命给世界带来的巨大冲击，维新派主张向西方学习各种技术，我国第一条铁路就是第一批留学生詹天佑主持修炼而成，至于你是的为什么要接纳中国留学生，这个不在当时的军事范围之内，就像现在我们和日本在政治上欢喜非常紧张，但是却又密切的经济来往一样。

晚清时期，中国也认识到自身落后于西方，开展了洋务运动以求追赶上西方，派出留学生就是其中的一项政策。

“庚款留学生”简单的理解就是美国人用中国的“庚子赔款”以各种方式退还给中国的其中一种方式。
在中国“庚子赔款”后，美、俄、英、法、荷、比等国相继与中国订立协定，退还超过实际损失的赔款。退还款项除了偿付债务外，其余悉数用在教育上，中国每年向上述国家输送相应的留学生，庚款留学生由此产生。