设A是实矩阵．证明：（Ⅰ）ATAx=0与Ax=0是同解方程组；（Ⅱ）秩（ATA）=秩（A）

证明：

（I）

若x0是Ax=0的解，即：Ax0=0，

显然：ATAx0＝AT(Ax0)＝0，

即x0是ATAx=0的解；

反之，设x0是ATAx=0的解，即ATAx0=0，则：

x0TATAx0＝0；

即(Ax0)TAx0＝0；

从而：|Ax0|2＝(Ax0，Ax0)＝(Ax0)TAx0＝0；

于是：Ax0=0，即x0是Ax=0的解；

故：ATAx=0与Ax=0是同解方程组。

（II）

由（I）知ATAx=0与Ax=0是同解方程组，

因而两者的解空间维数相同，

又解空间的维数=未知数的个数-系数矩阵的秩

从而：r（ATA）=r（A）。

扩展资料：

矩阵的秩

引理，设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

定理，矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理，初等变换不改变矩阵的秩。

定理，矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}。

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

证明：
（I）
若x₀是Ax=0的解，即：Ax₀=0，
显然：ATAx0＝AT(Ax0)＝0，
即x₀是A^TAx=0的解；
反之，设x₀是A^TAx=0的解，即A^TAx₀=0，则：
x0TATAx0＝0，
即(Ax0)TAx0＝0，
从而：|Ax0|2＝(Ax0，Ax0)＝(Ax0)TAx0＝0，
于是：Ax₀=0，即x₀是Ax=0的解，
故：A^TAx=0与Ax=0是同解方程组．

（II）
由（I）知A^TAx=0与Ax=0是同解方程组，
因而两者的解空间维数相同，
又解空间的维数=未知数的个数-系数矩阵的秩
从而：r（A^TA）=r（A）．

这个证明与其他几个证明不同，其他证明都有点问题，都只会复制粘贴，下面加粗的表示是矩阵或者列向量

证明：

(1)

若x0是Ax=0的解，即：Ax0=0，

显然：ATAx0＝AT(Ax0)＝0，

即x0是ATAx=0的解；

反之，设x0是ATAx=0的解，即ATAx0=0，则：

x0TATAx0＝0(注意，这里的0是数字，不是向量)，

即(Ax0)TAx0＝0，（Ax0又不是方阵，不能计算行列式|Ax0|，其他证明主要是这里有问题）

应该设Ax=[a1,a2,a3....]T（列向量）

(Ax0)T(Ax0)=a1^2+a2^2+a3^2+....=0，所以a1=a2=a3=ai=0。 

所以Ax0=0，x0为Ax=0的解

故：ATAx=0与Ax=0是同解方程组。

（2）

由（1）知：ATAx=0与Ax=0是同解方程组，因而两者的解空间维数相同，

又 解空间的维数=未知数的个数-系数矩阵的秩

从而：r（ATA）=r（A）