解答：解：（1）当a=2，x∈[0，3]时，f（x）=x|x-2|+2x=
x2，x≥2 ?x2+4x，0≤x＜2
作函数图象，
可知函数f（x）在区间[0，3]上是增函数．
所以f（x）在区间[0，3]上的最大值为f（3）=9．
（2）f（x）=
x2+(2?a)x，x≥a ?x2+(2+a)x，x＜a
①当x≥a时，f（x）=(x?
)2?a?2 2
．(a?2)2
4
因为a＞2，所以
＜a．a?2 2
所以f（x）在[a，+∞）上单调递增．
②当x＜a时，f（x）=-(x?
)2+a+2 2
．(a+2)2
4
因为a＞2，所以
＜a．a+2 2
所以f（x）在（-∞，
]上单调递增，在[a+2 2
，a]上单调递减．a+2 2
综上所述，函数f（x）的递增区间是（-∞，
]和[a，+∞），递减区间是[a+2 2
，a]．a+2 2
（3）当3≤a≤6时，由（1）知f（x）在（-∞，
]和[a，+∞）上分别是增函数，在[a+2 2
，a]上是减函数，a+2 2
当且仅当2a＜t+2a＜
时，方程f（x）=t+2a有三个不相等的实数解．(a+2)2 4
即0＜t＜
(a?2)2 4
令g(a)＝
，g（a）在a∈[3，6]时是增函数，(a?2)2 4
故g（a）max=4．
∴实数t的取值范围是（0，4）．
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