求级数的和（3n+5）⼀3^n

解：原式=S=∑n/3^(n-1)+5∑(1/3)^n。
【假设n从n=1开始】，再设S1=∑n/3^(n-1)=1+2/3+3/3^2+……+n/3^(n-1)，∴S1-(1/3)S1=1+1/3+1/3^2+……+1/3^(n-1)-n/3^n=3(1-1/3^n)/2-n/3^n，∴S1=(9/4)(1-1/3^n)-3n/(2*3^n)。
又，∑(1/3)^n=[1/3-1/3^(n+1)]/(1-1/3)=(1-1/3^n)/2，
∴原式=(9/4)(1-1/3^n)-3n/(2*3^n)+5(1-1/3^n)/2=(19/4)(1-1/3^n)-3n/(2*3^n)。
lim(n→∞)S=19/4。供参考。

令t=x^3,∑x^3n/(3n)!=∑t^n/(3n)!,
lim[n->∞] |[1/3(n+1)!]/[1/(3n)!]|=lim[n->∞] (1/(3n+3)(3n+2)(3n+1))=0
于是得到原级数的收敛域为(-∞,+∞)
y'=∑x^(3n-1)/(3n-1)!{n=1到∞}
y''=∑x^(3n-2)/(3n-2)!{n=1到∞}
y''+y'+y=∑(x^n)/n!=e^x
y(0)=x^(3*0)/(3*0)!=1,y'(0)=0
解带初值的微分方程:特征方程r^2+r+1=0,r=-1/2±(√3)i/2
对应其次方程通解为y=e^(-x/2)[C1cos((√3)x/2)+C2sin((√3)x/2)]
特解形式为y*=Ae^x,待定系数得A=1/3
得到方程通解y=e^(-x/2)[C1cos((√3)x/2)+C2sin((√3)x/2)]+(e^x)/3
代入y(0)=1,y'(0)=0,C1=2/3,C2=0
因此∑x^3n/(3n)!=(2/3)e^(-x/2)cos((√3)x/2)+(e^x)/3 x ∈ (-∞,+∞)

把括号里的拆出来，分两部分用逐差法算，逐差法步骤数学书上例题里有