正三棱锥P-ABC的三条棱两两互相垂直,则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为(  )A.1:3B.1:(3

2025年03月18日 04:33
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网友(1):

三棱锥扩展为长方体,它的对角线的长度,就是球的直径,
设侧棱长为a,则
它的对角线的长度为:
3
a
球的半径为:
3
a
2

再设正三棱锥内切球的半径为r,
根据三棱锥的体积的两种求法,得
1
3
×
1
2
×a3
=
1
3
×
[
1
2
a2
×3+
3
4
(
2
a)2
]×r,
∴r=
3?
3
6
a

∴该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为
3?
3
6
a
3
a
2
=(
3
?1):3

故选D.