三棱锥扩展为长方体,它的对角线的长度,就是球的直径,
设侧棱长为a,则
它的对角线的长度为:
a
3
球的半径为:
,
a
3
2
再设正三棱锥内切球的半径为r,
根据三棱锥的体积的两种求法,得
×1 3
×a3=1 2
×[1 3
a2×3+1 2
(
3
4
a)2]×r,
2
∴r=
a,3?
3
6
∴该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为
=(
a3?
3
6
a
3
2
?1):3.
3
故选D.