取保候审可不可以向检察院以及法院申请？还有……

1、被逮捕进看守所，在一般意义上，算不算服刑。但是如果在法院判决一定刑期，并且羁押期限算在刑期之内的话，也算是另一种意义上的服刑。如果最后判处的是有期徒刑缓期执行，羁押期限一日还可以充抵两日。
2、你说的“已经关了半年，检察院就是不起诉”，可能有几种情况，一是检察机关自侦的案件，还没有侦查完毕；二是公安机关侦查的案件，移送人民检察院审查，认为需要补充侦查的，退回公安机关补充侦查，或者自行侦查。 对于将来的结果，有可能是不起诉，也有可能是提起公诉。不起诉的话，不算服刑；提起公诉的话，再参照第一点。
3、根据刑事诉讼法的规定，人民法院、检察院、公安机关都有权决定取保候审。究竟应当向哪个机关提出申请，关键看案件处在哪个阶段。侦查阶段要向办理案件的公安机关或者检察机关提出，审查起诉阶段，要向检察机关提出，在审理阶段，向审理案件的人民法院提出。

看样子你们还没有聘请刑事辩护律师。你的情况，很不乐观。第一个问题，如果最终被定罪，那现在关押的时间当然算刑期和服刑。虽然，现在的本意，并不是服刑。只是一种临时性刑事强制措施。第二，取保候审可以申请，也可以向检察法院申请。不过，建议通过律师申请。否则，办案机关会不重视的。
总之呢，建议你尽早委托专业的刑事辩护律师介入提供法律帮助和辩护。我支持你，祝你好运