先证A^(-1)正定；
A正定，则A合同于E，
所以，存在C可逆，C^TAC=E;
则两边取逆，C^(-1){A^(-1)}C^(-1)^T=E;
所以，A^(-1)合同于E；
所以A^(-1)正定；
由于A，A^(-1)正定；
所以，任意X，X^TAX>0;
X^TA^(-1)X>0;
所以X^T(A+A^(-1))X=X^TAX+X^TA^(-1)X>0;
所以(A+A^(-1))正定。
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