相交弦定理的证明

若圆内任意弦AB、弦CD交于点P，则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）。

定理的证明：

连结AC，BD

由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。

∴△PAC∽△PDB

∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD（若连结AD，BC也可证明）

扩展资料：

相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求线段长度。

当P点在圆内时称为相交弦定理，当P点在圆上时称为切割线定理，当P点在圆外时称为割线定理。三条定理统称为圆幂定理。其中|OP²-R²|称为P点对圆O的幂。（R为圆O的半径）

相交弦定理的推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。若a:b=b:c, 则称b为a、c的比例中项。

这个推论揭示了弦与直径垂直相交的性质。推论在解题中有较广泛的应用，并给出了作两条已知线段比例中项的方法。

证明：连结AC，BD
由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.）
∴△PAC∽△PDB
∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD
注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。