本原元在有限域乘法与乘法逆元计算方面的应用有哪些？

如题，本原元在有限域乘法与乘法逆元计算方面的应用有哪些？

2024年11月27日 14:36

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网友（1）：

本原元是指有限域乘法群的生成元，它的阶数是q-1，q是有限域中元素个数。本原元的作用有很多，你问的是在乘法和乘法逆元上计算的用处。下面假设w是一个本原元
首先，有限域F中的任何非零元素a都可以表达成w^m的形式，这是因为有限域的乘法群是一个循环群，而本原元是这个循环群的生成元。这样在计算有限域元素之间乘法的时候，只要将指数相加。具体的说，a=w^m,b=w^n,ab=w^(m+n).
其次，任何一个非零元素a，有上面知道a=w^m,那么a的逆a^(-1)=w^(-m)
本原元还有其他的用处，如分圆多项式，本原多项式，域的扩张等。不过这不是几句话能说清楚的了。
我是学代数的，有问题我们可以再交流。