如何判断收敛性(交错级数)

判断交错级数收敛性如下：

扩展资料

交错级数正项和负项交替出现的级数，形式满足a1-a2+a3-a4+.......+(-1)^(n+1)an+......，或者-a1+a2-a3+a4-.......+(-1)^(n)an，其中an>0。

在交错级数中，常用莱布尼茨判别法来判断级数的收敛性，即若交错级数各项的绝对值单调递减且极限是零，则该级数收敛。

莱布尼茨定理仅仅给出了判断交错级数收敛的充分条件，却没有给出判断交错级数发散的条件；同时，如果交错级数满足该定理的条件，也无法判断级数是绝对收敛还是条件收敛。

1、首先，拿到一个数项级数，先判断其是否满足收敛的必要条件：若数项级数收敛，则 n→+∞ 时，级数的一般项收敛于零。（这一必要条件一般用于证明级数的发散性，即一般项不收敛于零。）

2、若满足其必要性。接下来，判断级数是否为正项级数：如果级数为正项级数，则可以使用以下三种判别方法来验证其收敛性。（注：这三种判别方法的前提必须是正项级数。）

（1） 比较原则；

（2） 比式判别式（适用于n！的级数）；

（3） 根式判别法（适用于n次方 的级数）；（注：一般可采用比值判别法的级数可采用根判别法）

3、若不是正项级数，则接下来可以判断该级数是否为交错级数。

4、若不是交错级数，可以再来判断其是否为绝对收敛的级数。

5、如果既不是交错级数又不是正项级数，则对于这样的一般级数，可以用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法来判断。

不知道为什么，感觉其他楼都没有在回答题主的问题。小格调990的总结挺好的，但是没有正面回答题主问题。

法一：

这是个交错级数，通常可以用莱布尼兹判别法：

（un为提取出（-1）的n或n-1次方后，剩下的恒为正的部分。n是下标。不理解的话可以百度下交错级数的定义。）

un在n趋于∞时，极限为0，且un≥u（n+1）（n与n+1是下标。），则收敛。

此处显然满足这两个条件，故收敛。

法二：

这里也可以通过证|un|的无穷级数收敛来证其绝对收敛，而绝对收敛的级数收敛，从而证其收敛。

在这里证绝对收敛，即证1/n*2^n的无穷级数收敛

用正项级数的判敛法：

1. 比较判敛法：1/n*2^n≤1/2^n，而后者的无穷级数收敛（证后者的无穷级数收敛可以用小格调提到的比式判敛法，这个一般来说是常识，不用证。），故收敛。

   （顺带一提，小格调提到的比较原则，也就是通常说的比较判敛法，有极限形式，可以百度了解一下）

2. 比式判别法：

n趋于∞时，u（n+1）/un=n/2（n+1）=1/2，故收敛。

3.根式判别法：

n趋于∞时，un的1/n次方=（1/n）的1/n次方 *1/2=1/2，故收敛。

第一个级数的敛散性可以根据交错级数的莱布尼兹判别法来判断：因为①1/n单调递减；②1/n的极限是0.因此原级数收敛。第二个级数每一项都是第一个级数的每一项的相反数，因此具有相同的敛散性，且级数和为第一个级数的相反数。