如何判断函数在某点是否可导和连续

2024年11月16日 04:14
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网友(1):

判断如下:

1、如果对于任意不论多么小的正数e,总能找到一个正数o(依赖于e),使得对满足不等式|x-x0|

依赖于的意思是通过e得到o,例如o=e^3,注意这种关系不能倒过来。形象地说就是没有断点。

2、如果差商[f(x0+d)-f(x0)]/d,当d不论从哪边趋于0时,都有唯一的极限f'(x0),那么就说函数f(x)在x=x0是可微的。形象地说就是光滑。

3、连续是可导的必要不充分条件:

要判断函数在一点是否连续,要用极限的方法,就是这点左极限和右极限是否相等,相等就是连续的。要判断是否可导,是可导必定连续,如果不是连续,就不可导,如果连续,求这点的左导数和右导数,相等就是可导,不相等不可导。

扩展资料:

1、连续点:如果函数在某一邻域内有定义,且x->x0时limf(x)=f(x0),就称x0为f(x)的连续点。

一个推论,即y=f(x)在x0处连续等价于y=f(x)在x0处既左连续又右连续,也等价于y=f(x)在x0处的左、右极限都等于f(x0)。

这就包括了函数连续必须同时满足三个条件:

1)函数在x0 处有定义;

2)x-> x0时,limf(x)存在;

3)x-> x0时,limf(x)=f(x0)。

初等函数在其定义域内是连续的。

2、连续函数:函数f(x)在其定义域内的每一点都连续,则称函数f(x)为连续函数。

3、连续性与可导性关系:连续是可导的必要条件,即函数可导必然连续;不连续必然不可 导;连续不一定可导。典型例子:含尖点的连续函数。

如果f是在x0处可导的函数,则f一定在x0处连续,特别地,任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上,存在一个在其定义域上处处连续函数,但处处不可导。

参考资料来源:百度百科——函数可导性与连续性

网友(2):

函数连续可导,但函数可导可不一定连续,所以先考虑怎么分析函数是否连续。设一个函数y=f(x), x在它的定义域内,y有意义。我们接下来谈的都是在x的定义域内。先在x的定义域内任意区一点x',那么y'=f(x'), 我们借助极限的概念, 当x从左边趋近于x'时,看看y是否趋近于y';同理,当x从右边趋近于x'时,看看y是否趋近于y'。如果都成立,我们可以说函数y=f(x), x在它的定义域内是连续的,否则不连续。由函数的连续,可以得到此函数可导。
关于函数的导数和连续有下面四点结论:
1、连续的函数不一定可导.
2、可导的函数是连续的函数.
3、越是高阶可导函数曲线越是光滑.
4、存在处处连续但处处不可导的函数.
左导数和右导数存在且“相等”,才是函数在该点可导的充要条件,不是左极限=右极限(左右极限都存在).连续是函数的取值,可导是函数的变化率,当然可导是更高一个层次.

网友(3):

网友(4):

可导必连续