利用极限存在准则证明lim√(1+1⼀n)=1

1 小于 根号下1+1/n 小于 1+1/n，1的极限为1，1+1/n的极限为1，夹逼准则可得：根号下1+1/n的极限为1。

单调有界数列有极限：因为f(n)单调且f(n)>f(n+1),f(n)>1知其极限存在或者用柯西极限存在准则按定义证明亦可。

用单调有界数列存在极限定理证明。

单调。当a>1时，a（n+1）/an>1 所以单调递增；

有界。an<（a^n）^(1/n)=a 所以有界；

所以极限存在。假设极限为b，则有

b^(1/n)=b^(1/n-1)

b^2=b;b>0所以 b=1

扩展资料：

有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。

单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。

在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。

参考资料来源：百度百科-函数极限

√1<√(1+1/n)<√(1+1/(n-1))
x-0,√(1+1/(n-1))=1
夹逼准则
√（1+1/n）=1

1 小于 根号下1+1/n 小于 1+1/n，1的极限为1，1+1/n的极限为1，夹逼准则可得：根号下1+1/n的极限为1。