求不定积分∫(1+x^2)^1⼀2dx

令x=tan(t),
则dx=(sect)^2dt
带入∫(1+x^2)^(1/2)dx
=∫sectdtant
=secttant-∫tantdsect
=sect*tant-∫sect*tan²tdt
=sect*tant-∫sect(sec²t-1)dt
=secttant-∫sec³tdt+∫sectdt
=secttant-∫sec³tdt+ln|sect+tant|
2∫sec³tdt=secttant+ln|sect+tant|
∫sec³tdt=(secttant+ln|sect+tant|)/2+C
反带回得：
∫(1+x^2)^1/2dx
=(x√(1+x^2)+ln|x+√(1+x^2)|)/2+C
连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a，b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
扩展资料：
求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。
如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。因而不定积分∫f(x)
dx可以表示f(x)的任意一个原函数。
设f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上可积。设f(x)区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a，b]上可积。设f(x)在区间[a，b]上单调，则f(x)在[a，b]上可积。
一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。
参考资料来源：搜狗百科——不定积分