解:
第一行-3倍第三行:
0 4 9 5 1 0 -3 0
0 2 2 1 0 1 0 0
1 -2 -3 -2 0 0 1 0
0 1 2 1 0 0 0 1
第一行减去4倍第四行,第二行减去2倍第四行:
0 0 1 1 1 0 -3 -4
0 0 -2 -1 0 1 0 -2
1 -2 -3 -2 0 0 1 0
0 1 2 1 0 0 0 1
第二行加上2倍第一行:
0 0 1 1 1 0 -3 -4
0 0 0 1 2 1 -6 -10
1 -2 -3 -2 0 0 1 0
0 1 2 1 0 0 0 1
调整位置,成为上三角矩阵:
1 -2 -3 -2 0 0 1 0
0 1 2 1 0 0 0 1
0 0 1 1 1 0 -3 -4
0 0 0 1 2 1 -6 -10
第三行减去第四行:
1 -2 -3 -2 0 0 1 0
0 1 2 1 0 0 0 1
0 0 1 0 -1 -1 3 6
0 0 0 1 2 1 -6 -10
第二行减去2倍第三行和第四行:
1 -2 -3 -2 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0 -1
0 0 1 0 -1 -1 3 6
0 0 0 1 2 1 -6 -10
第一行加上2倍第二行,3倍第三行,2倍第四行
1 0 0 0 1 1 -2 -4
0 1 0 0 0 1 0 -1
0 0 1 0 -1 -1 3 6
0 0 0 1 2 1 -6 -10
所以新的右4列就是原矩阵的逆矩阵:
1 1 -2 -4
0 1 0 -1
-1 -1 3 6
2 1 -6 -10
性质:
1、可逆矩阵一定是方阵。
2、如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的。
3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A,记作(A-1)-1=A。
4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T。
5、若矩阵A可逆,则矩阵A满足消去律, 即AB=O(或BA=O),则B=O,AB=AC(或BA=CA),则B=C。
6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
3 -2 0 -1 1 0 0 0
0 2 2 1 0 1 0 0
1 -2 -3 -2 0 0 1 0
0 1 2 1 0 0 0 1
第1行交换第3行
1 -2 -3 -2 0 0 1 0
0 2 2 1 0 1 0 0
3 -2 0 -1 1 0 0 0
0 1 2 1 0 0 0 1
第3行, 减去第1行×3
1 -2 -3 -2 0 0 1 0
0 2 2 1 0 1 0 0
0 4 9 5 1 0 -3 0
0 1 2 1 0 0 0 1
第2行交换第4行
1 -2 -3 -2 0 0 1 0
0 1 2 1 0 0 0 1
0 4 9 5 1 0 -3 0
0 2 2 1 0 1 0 0
第4行, 减去第2行×2
1 -2 -3 -2 0 0 1 0
0 1 2 1 0 0 0 1
0 4 9 5 1 0 -3 0
0 0 -2 -1 0 1 0 -2
第3行, 减去第2行×4
1 -2 -3 -2 0 0 1 0
0 1 2 1 0 0 0 1
0 0 1 1 1 0 -3 -4
0 0 -2 -1 0 1 0 -2
第4行, 减去第3行×-2
1 -2 -3 -2 0 0 1 0
0 1 2 1 0 0 0 1
0 0 1 1 1 0 -3 -4
0 0 0 1 2 1 -6 -10
第1行,第2行,第3行, 加上第4行×2,-1,-1
1 -2 -3 0 4 2 -11 -20
0 1 2 0 -2 -1 6 11
0 0 1 0 -1 -1 3 6
0 0 0 1 2 1 -6 -10
第1行,第2行, 加上第3行×3,-2
1 -2 0 0 1 -1 -2 -2
0 1 0 0 0 1 0 -1
0 0 1 0 -1 -1 3 6
0 0 0 1 2 1 -6 -10
第1行, 加上第2行×2
1 0 0 0 1 1 -2 -4
0 1 0 0 0 1 0 -1
0 0 1 0 -1 -1 3 6
0 0 0 1 2 1 -6 -10
得到逆矩阵
1 1 -2 -4
0 1 0 -1
-1 -1 3 6
2 1 -6 -10