组合数学的问题

1、以A表示所取的31个数所成的集合，任取s∈A,则 s可表示成s=(2^α)*β
其中α是非负整数，β是不大于59的奇数，对任一整数i(1≤i≤30),令
Ai={s│s∈A,s=(2i-1)*2^α 且α是非负整数}
则Ai属于A且 A1到A30的并集=A 由鸽笼原理的简单形式

必有正整数k，使得Ak的元素个素最少是2个，设s1和s2是这个Ak中的2个元素

s1=（2k-1）2^α1, s2=(2k-1)2^α2

s2是s1的倍数

2、把正整数分为5类，这5类数字除以5所得的余数分别是0.1.2.3.4

现在取6个数，由鸽笼原理的简单形式，必有2个数在同一类正整数里面

不妨设他们是 5k+b 和5（k+a）+b 显然 他们的差能被5整除

3、把正方形分为面积相等的4个小正方形（田字形），取5点，由鸽笼原理的简单形式，必有2点在同一个小正方形内，小正方形内的2点距离最大是根号2

所以至少有两个点间的距离小于根号2

4、连接三角形3边的中点

三角形被分为面积相等的4个小等边三角形，由鸽笼原理的简单形式
必有2点在同一个小三角形内，小三角形内任意2点的距离小于1
得证

1。首先容易判断1、2不能被选中，否则显然会有其他数是他们的倍数
然后，从31开始的质数一定可以选的。因为它不可能是其他数的倍数（1已经排除了），而它的倍数也一定大于60。
这样，31、37、41、43、47、53、59这7个数一定可以被选出
现在要证明的是，不可能在剩下的51个数中选出24个数，使得两两之间不存在倍数关系。
对这51数按如下方式分组：
{3、6、12、24、48}
{4、8、16、32}
{5、10、20、40}
{7、14、28、56}
{9、18、36}
{11、22、44}
{13、26、52}
{15、30、60}
{17、34}
{19、38}
{21、42}
{23、46}
{25、50}
{27、54}
{29、58}
{33}
{35}
{39}
{45}
{49}
{51}
{55}
{57}
共23组。显然同一组中的数字一定存在倍数关系。而根据抽屉原则，在23组中选取24个数，必然存在至少两个来自同一组。因此，不可能在这51个数中选出24个数，使得两两之间不存在倍数关系。
从而，集合{1,2,3,…,60}中任选31个数，那么其中必定有一个数是另一个数的倍数

2、将正整数分为5组
{1、6、11、…、5K+1、…}（K为自然数）
{2、7、12、…、5K+2、…}（K为自然数）
{3、8、13、…、5K+4、…}（K为自然数）
{4、9、14、…、5K+4、…}（K为自然数）
{5、10、15、…、5K+5、…}（K为自然数）
同一组中，两数之差一定是5的倍数
而根据抽屉原则，5组中选取6个数，必有至少两个数来自同一组
所以，必定存在这样两个数，它们的差是5的倍数

3、连接正方形对边的中点，将正方形分成4个边长为1的小正方形
同一小正方形内的任意两点之距必然小于根2。而在原正方形内任取的5点中，必有至少两点处于同一小正方形内（也是抽屉原则）。所以至少有两个点的距离小于根2

4、连接三角形各边的中点，将三角形分成4个边长为1的小正三角形。其后的方法与3完全相同。

这几个题都是应用了抽屉原则
抽屉原则通俗的表达是：将10个苹果放入9个抽屉，必然有至少一个抽屉中放入至少2个苹果。
数学表达是：在N个非空集合中选出任意N+1个元素，至少要从某一集合中取出2个以上的元素